在数学中，三角函数的恒等变换是解决各种问题的重要工具。这些公式可以帮助我们将复杂的表达式简化，并且在求解三角方程和证明恒等式时非常有用。以下是常用的三角恒等变换公式：
基本关系式
1. 平方关系：
- $\sin^2\theta + \cos^2\theta = 1$
- $1 + \tan^2\theta = \sec^2\theta$
- $1 + \cot^2\theta = \csc^2\theta$
2. 倒数关系：
- $\csc\theta = \frac{1}{\sin\theta}$
- $\sec\theta = \frac{1}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \frac{1}{\tan\theta}$
3. 商的关系：
- $\tan\theta = \frac{\sin\theta}{\cos\theta}$
- $\cot\theta = \frac{\cos\theta}{\sin\theta}$
和差角公式
4. 正弦和角公式：
- $\sin(\alpha + \beta) = \sin\alpha\cos\beta + \cos\alpha\sin\beta$
- $\sin(\alpha - \beta) = \sin\alpha\cos\beta - \cos\alpha\sin\beta$
5. 余弦和角公式：
- $\cos(\alpha + \beta) = \cos\alpha\cos\beta - \sin\alpha\sin\beta$
- $\cos(\alpha - \beta) = \cos\alpha\cos\beta + \sin\alpha\sin\beta$
6. 正切和角公式：
- $\tan(\alpha + \beta) = \frac{\tan\alpha + \tan\beta}{1 - \tan\alpha\tan\beta}$
- $\tan(\alpha - \beta) = \frac{\tan\alpha - \tan\beta}{1 + \tan\alpha\tan\beta}$
倍角公式
7. 正弦倍角公式：
- $\sin(2\theta) = 2\sin\theta\cos\theta$
8. 余弦倍角公式：
- $\cos(2\theta) = \cos^2\theta - \sin^2\theta$
- $\cos(2\theta) = 2\cos^2\theta - 1$
- $\cos(2\theta) = 1 - 2\sin^2\theta$
9. 正切倍角公式：
- $\tan(2\theta) = \frac{2\tan\theta}{1 - \tan^2\theta}$
半角公式
10. 正弦半角公式：
- $\sin\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{2}}$
11. 余弦半角公式：
- $\cos\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 + \cos\theta}{2}}$
12. 正切半角公式：
- $\tan\left(\frac{\theta}{2}\right) = \pm\sqrt{\frac{1 - \cos\theta}{1 + \cos\theta}}$
积化和差公式
13. 积化和差公式：
- $\sin A \sin B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) - \cos(A+B)]$
- $\cos A \cos B = \frac{1}{2}[\cos(A-B) + \cos(A+B)]$
- $\sin A \cos B = \frac{1}{2}[\sin(A+B) + \sin(A-B)]$
和差化积公式
14. 和差化积公式：
- $\sin A + \sin B = 2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- $\sin A - \sin B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- $\cos A + \cos B = 2\cos\left(\frac{A+B}{2}\right)\cos\left(\frac{A-B}{2}\right)$
- $\cos A - \cos B = -2\sin\left(\frac{A+B}{2}\right)\sin\left(\frac{A-B}{2}\right)$
以上是三角恒等变换中的常用公式。熟练掌握这些公式对于解决三角函数相关的问题至关重要。通过不断的练习和应用，可以更好地理解和运用这些公式。
