在高中数学的学习过程中，等比数列是一个重要的知识点，它不仅出现在教材中，也是高考数学中的常考内容之一。等比数列是指一个数列，其中每一项与它的前一项之比等于同一个常数（即公比）。这种特性使得等比数列具有许多独特的性质，尤其是在求解其前n项和时。

等比数列的基本概念

假设一个等比数列的第一项为 \(a_1\)，公比为 \(q\)，那么该数列可以表示为：

\[a_1, a_1q, a_1q^2, a_1q^3, \ldots\]

等比数列的一个重要公式是其前n项和公式：

\[S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}, \quad (q \neq 1)\]

当 \(|q| < 1\) 时，随着 \(n\) 趋向于无穷大，前n项和 \(S_n\) 会趋向于一个极限值，这个极限值称为无穷等比数列的和，公式为：

\[S_\infty = \frac{a_1}{1-q}, \quad (|q| < 1)\]

高考真题解析

接下来我们通过一道高考真题来具体分析如何应用这些公式解决问题。

例题：

已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的首项 \(a_1 = 2\)，公比 \(q = 3\)，求该数列的前5项和 \(S_5\)。

解答：

根据前n项和公式：

\[S_n = a_1 \frac{1-q^n}{1-q}\]

将已知条件代入：

\[S_5 = 2 \cdot \frac{1-3^5}{1-3} = 2 \cdot \frac{1-243}{-2} = 2 \cdot \frac{-242}{-2} = 2 \cdot 121 = 242\]

因此，该数列的前5项和为 \(S_5 = 242\)。

习题练习

为了更好地掌握等比数列及其前n项和的相关知识，我们可以尝试以下习题：

1. 已知等比数列 \(\{a_n\}\) 的首项 \(a_1 = 1\)，公比 \(q = 2\)，求该数列的前6项和 \(S_6\)。

2. 某一等比数列的前3项和为21，公比为3，求该数列的首项 \(a_1\)。

通过这些习题的练习，相信同学们能够更加熟练地运用等比数列的公式解决实际问题。

总之，等比数列是数学学习中的一个基础且重要的部分，掌握好等比数列的性质和相关公式，对于应对高考数学中的各类问题都具有重要意义。希望以上内容能帮助大家更好地理解和掌握这一知识点。