【高数定积分公式】在高等数学中，定积分是微积分的重要组成部分，广泛应用于物理、工程、经济学等多个领域。掌握常见的定积分公式，有助于提高解题效率和理解积分的本质。以下是对常见高数定积分公式的总结，并以表格形式展示。
一、基本定积分公式
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ f(x) = x^n $ | $ \int_a^b x^n \, dx $ | $ \frac{b^{n+1} - a^{n+1}}{n+1} $（$ n \neq -1 $） |
| $ f(x) = \sin x $ | $ \int_a^b \sin x \, dx $ | $ -\cos b + \cos a $ |
| $ f(x) = \cos x $ | $ \int_a^b \cos x \, dx $ | $ \sin b - \sin a $ |
| $ f(x) = e^x $ | $ \int_a^b e^x \, dx $ | $ e^b - e^a $ |
| $ f(x) = \ln x $ | $ \int_a^b \ln x \, dx $ | $ b \ln b - a \ln a - (b - a) $ |
二、特殊函数的定积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果 | ||||
| $ f(x) = \frac{1}{x} $ | $ \int_a^b \frac{1}{x} \, dx $ | $ \ln b - \ln a $ | ||||
| $ f(x) = \frac{1}{x^2} $ | $ \int_a^b \frac{1}{x^2} \, dx $ | $ \frac{1}{a} - \frac{1}{b} $ | ||||
| $ f(x) = \frac{1}{\sqrt{x}} $ | $ \int_a^b \frac{1}{\sqrt{x}} \, dx $ | $ 2\sqrt{b} - 2\sqrt{a} $ | ||||
| $ f(x) = \tan x $ | $ \int_a^b \tan x \, dx $ | $ -\ln | \cos b | + \ln | \cos a | $ |
三、对称区间上的积分公式
| 函数性质 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| 偶函数（$ f(-x) = f(x) $） | $ \int_{-a}^a f(x) \, dx $ | $ 2 \int_0^a f(x) \, dx $ |
| 奇函数（$ f(-x) = -f(x) $） | $ \int_{-a}^a f(x) \, dx $ | $ 0 $ |
四、三角函数的定积分
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ f(x) = \sin^2 x $ | $ \int_0^{\pi} \sin^2 x \, dx $ | $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ f(x) = \cos^2 x $ | $ \int_0^{\pi} \cos^2 x \, dx $ | $ \frac{\pi}{2} $ |
| $ f(x) = \sin^3 x $ | $ \int_0^{\pi} \sin^3 x \, dx $ | $ \frac{4}{3} $ |
| $ f(x) = \cos^3 x $ | $ \int_0^{\pi} \cos^3 x \, dx $ | $ 0 $ |
五、反常积分（广义积分）
| 函数形式 | 定积分表达式 | 积分结果 |
| $ f(x) = \frac{1}{x^p} $ | $ \int_1^{\infty} \frac{1}{x^p} \, dx $ | 收敛当 $ p > 1 $，发散当 $ p \leq 1 $ |
| $ f(x) = e^{-ax} $ | $ \int_0^{\infty} e^{-ax} \, dx $ | $ \frac{1}{a} $（$ a > 0 $） |
总结
定积分是计算面积、体积、质量等物理量的重要工具。通过掌握上述常见函数的积分公式，可以更高效地解决实际问题。同时，注意积分上下限的选取以及函数的奇偶性，有助于简化计算过程。在学习过程中，建议结合图形理解积分的意义，提升综合应用能力。
