【一元二次方程求根公式】在数学中，一元二次方程是最常见的一类代数方程，形式为 $ ax^2 + bx + c = 0 $，其中 $ a \neq 0 $。这类方程的解法有多种，但最常用且通用的方法是使用求根公式。该公式能够直接求出方程的两个实数或复数根，适用于所有符合条件的一元二次方程。
一、一元二次方程的标准形式
一元二次方程的一般形式为：
$$
ax^2 + bx + c = 0
$$
其中：
- $ a $ 是二次项系数，且 $ a \neq 0 $
- $ b $ 是一次项系数
- $ c $ 是常数项
二、求根公式的推导过程
通过配方法可以推导出一元二次方程的求根公式：
1. 将方程两边同时除以 $ a $，得到：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \frac{c}{a} = 0
$$
2. 移项得：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x = -\frac{c}{a}
$$
3. 配方：两边加上 $ \left(\frac{b}{2a}\right)^2 $，得到：
$$
x^2 + \frac{b}{a}x + \left(\frac{b}{2a}\right)^2 = -\frac{c}{a} + \left(\frac{b}{2a}\right)^2
$$
4. 左边变为完全平方：
$$
\left(x + \frac{b}{2a}\right)^2 = \frac{b^2 - 4ac}{4a^2}
$$
5. 开平方并整理得：
$$
x = \frac{-b \pm \sqrt{b^2 - 4ac}}{2a}
$$
这就是一元二次方程的求根公式。
三、判别式的作用
在求根公式中，$ \Delta = b^2 - 4ac $ 被称为判别式，它决定了方程的根的性质：
| 判别式 $ \Delta $ | 根的情况 |
| $ \Delta > 0 $ | 有两个不相等的实数根 |
| $ \Delta = 0 $ | 有两个相等的实数根（即重根） |
| $ \Delta < 0 $ | 有两个共轭复数根 |
四、应用实例
下面通过几个例子展示如何使用求根公式来解一元二次方程：
| 方程 | 系数 | 判别式 $ \Delta $ | 根 |
| $ x^2 - 5x + 6 = 0 $ | $ a=1, b=-5, c=6 $ | $ (-5)^2 - 4×1×6 = 25 - 24 = 1 $ | $ x = \frac{5 \pm 1}{2} $ → $ x = 3 $ 或 $ x = 2 $ |
| $ x^2 + 4x + 4 = 0 $ | $ a=1, b=4, c=4 $ | $ 4^2 - 4×1×4 = 16 - 16 = 0 $ | $ x = \frac{-4}{2} = -2 $（重根） |
| $ x^2 + 2x + 5 = 0 $ | $ a=1, b=2, c=5 $ | $ 2^2 - 4×1×5 = 4 - 20 = -16 $ | $ x = \frac{-2 \pm \sqrt{-16}}{2} $ → $ x = -1 \pm 2i $（复数根） |
五、总结
一元二次方程的求根公式是解决此类方程的重要工具，其形式简洁、适用性强。通过判别式的分析，可以判断方程根的类型。掌握这一公式不仅有助于提高解题效率，也为进一步学习更高阶的代数内容打下基础。
