【单纯形法计算步骤详解】单纯形法是线性规划中求解最优解的一种经典算法，广泛应用于资源分配、生产计划等优化问题中。本文将从基本概念出发，详细讲解单纯形法的计算步骤，并通过表格形式进行总结，帮助读者更清晰地理解整个过程。
一、单纯形法简介
单纯形法是一种迭代算法，用于求解标准形式的线性规划问题：
$$
\text{最大化 } Z = C^T X \\
\text{满足 } A X \leq B, \quad X \geq 0
$$
在实际应用中，通常需要将不等式约束转化为等式约束，引入松弛变量或人工变量，从而构建初始单纯形表。
二、单纯形法计算步骤（以标准型为例）
| 步骤 | 操作说明 |
| 1. 建立初始单纯形表 | 将目标函数和约束条件写成标准形式，引入松弛变量或人工变量，构造初始单纯形表。 |
| 2. 确定入基变量 | 在目标函数行（即检验数行）中选择一个正的系数（对于最大化问题），该变量为入基变量。若所有检验数均为非正，则当前解为最优解。 |
| 3. 确定出基变量 | 对于选定的入基变量列，计算各约束行中该列元素与常数项的比值（仅考虑正数），选择最小的比值对应的行作为出基变量。 |
| 4. 进行行变换 | 用入基变量所在的行作为主行，通过初等行变换将主元变为1，其他行中该列的系数变为0，更新单纯形表。 |
| 5. 重复迭代 | 重复步骤2至4，直到目标函数行中所有检验数均非正，此时得到最优解。 |
三、单纯形法示例（简要说明）
假设我们有如下线性规划问题：
$$
\text{最大化 } Z = 3x_1 + 5x_2 \\
\text{约束条件：} \\
x_1 + x_2 \leq 4 \\
2x_1 + x_2 \leq 5 \\
x_1, x_2 \geq 0
$$
将其转化为标准形式，引入松弛变量 $ s_1, s_2 $，得到：
$$
Z - 3x_1 - 5x_2 = 0 \\
x_1 + x_2 + s_1 = 4 \\
2x_1 + x_2 + s_2 = 5
$$
初始单纯形表如下：
| 基变量 | $ x_1 $ | $ x_2 $ | $ s_1 $ | $ s_2 $ | 右端项 |
| $ s_1 $ | 1 | 1 | 1 | 0 | 4 |
| $ s_2 $ | 2 | 1 | 0 | 1 | 5 |
| $ Z $ | -3 | -5 | 0 | 0 | 0 |
经过几次迭代后，最终可得最优解。
四、总结
单纯形法是一个系统而高效的求解线性规划问题的方法，其核心在于通过不断调整基变量来逐步逼近最优解。掌握其计算步骤，有助于在实际问题中灵活应用。
| 单纯形法关键点 | 内容 |
| 目标 | 最大化或最小化目标函数 |
| 约束 | 转化为等式形式，引入松弛变量 |
| 入基变量 | 选择目标函数行中正系数的变量 |
| 出基变量 | 计算比值，选择最小的比值对应的变量 |
| 表格更新 | 通过行变换更新单纯形表 |
| 终止条件 | 所有检验数非正，达到最优解 |
通过以上步骤与表格总结，可以系统地理解和应用单纯形法。希望本文对学习线性规划的同学有所帮助。
